Question

已知{a_n}为递减的等比数列，且{a₁，a₂，a₃}?{-4，-3，-2，0，1，2，3，4}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当bn=

1-(-1)n

2

an时，求证：b₁+b₂+b₃+…+b2n-1＜

16

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数列是递减的等比数列得q是正数，再从集合求出前三项，求出q代入通项公式即可；
（2）由（1）求出b_n，并对n分类讨论：n=2k和n=2k-1化简b_n，代入不等式的左边由等比数列的前n项和公式化简，再进行证明．

解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是递减数列，∴数列{a_n}的公比q是正数，
∵{a₁，a₂，a₃}?{-4，-3，-2，0，1，2，3，4}，
∴a₁=4，a₂=2，a₃=1，∴q=

a2

a1

=

1

4

=

1

2

，
∴an=a1qn-1=

8

2n

．
（Ⅱ）由（1）得，bn=

1-(-1)n

2

an=

8[1-(-1)n]

2n+1

，
当n=2k（k∈N^*）时，b_n=0，
当n=2k-1（k∈N^*）时，b_n=a_n，
即bn=

0，(n=2k，k∈N*) an，(n=2k-1，k∈N*).

∴b₁+b₂+b₃+…+b_2n-2+b_2n-1=a₁+a₃+…+a_2n-1
=

4[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

16

3

[1-(

1

4

)n]＜

16

3

．

点评：本题考查了等比数列是递减数列的特点，通项公式和前n项和公式应用，考查了分类讨论思想．