Question

如图，海岸线MAN，∠A=2θ，现用长为l的拦网围成一养殖场，其中B∈MA，C∈NA．
（1）若BC=l，求养殖场面积最大值；
（2）若B、C为定点，BC＜l，在折线MBCN内选点D，使BD+DC=l，求四边形养殖场DBAC的最大面积；
（3）若（2）中B、C可选择，求四边形养殖场ACDB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先设AB=x，AC=y，x＞0，y＞0，由余弦定理得出关于x，y的等式，再结合基本不等式求出xy的最大值，从而得出养殖场面积最大值；
（2）设AB=m，AC=n（m，n为定值）．由DB+DC=l=2a为定值知点D在以B、C为焦点的椭圆上，欲使四边形养殖场DBAC的最大面积，只需△DBC面积最大，需此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点即可．
（3）先确定点B、C，使BC＜l．由（2）知△DBC为等腰三角形时，四边形ACDB面积最大．确定△BCD的形状，使B、C分别在AM、AN上滑动，且BC保持定值，由（1）知AB=AC时，四边形ACDB面积最大．

解答：解：（1）设AB=x，AC=y，x＞0，y＞0.l_=x_+y_-2xycos2θ≥2xy-2xycos2θ，xy≤

l2

2-2cos2θ

=

l2

4sin2θ

，S=

1

2

xysin2θ≤

1

2

•

l2

4sin2θ

•2sinθcosθ=

l2cosθ

4sinθ

，
所以，△ABC面积的最大值为

l2cosθ

4sinθ

，当且仅当x=y时取到．
（2）设AB=m，AC=n（m，n为定值）． BC=2c（定值），
由DB+DC=l=2a，a=

1

2

l，知点D在以B、C为焦点的椭圆上，S△ABC=

1

2

mnsin2θ为定值．
只需△DBC面积最大，需此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点．b=

a2-c2

=

l2 4 -c2

，S△BCD面积的最大值为

1

2

•2c•b=c•

l2 4 -c2

，
因此，四边形ACDB面积的最大值为

1

2

m•n•sin2θ+c•

l2 4 -c2

．
（3）先确定点B、C，使BC＜l．由（2）知△DBC为等腰三角形时，四边形ACDB面积最大．
确定△BCD的形状，使B、C分别在AM、AN上滑动，且BC保持定值，
由（1）知AB=AC时，四边形ACDB面积最大．
此时，△ACD≌△ABD，∠CAD=∠BAD=θ，且CD=BD=

l

2

．
S=2S△ACD=2•

1

2

•AC•AD•sinθ．
由（1）的同样方法知，AD=AC时，三角形ACD面积最大，最大值为

1

2

•

l

2

•

l 4

tan θ 2

．
所以，四边形ACDB面积最大值为

l2

8tan θ 2

．

点评：本小题主要考查余弦定理、基本不等式、椭圆的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．