Question

如图F₁，F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF₁|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F₂AB是等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  1

  2

• C、

  2

  2

• D、

  3

  -1

Answer 1

分析：由题设条件知 A(-

c

2

，

3 c

2

)，把A代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，得

c2

4a2

+

3c2

4b2

=1，整理，得e⁴-8e²+4=0，由此能够求出椭圆的离心率．

解答：解：由题意知 A(-

c

2

，

3 c

2

)，
把A代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，得

c2

4a2

+

3c2

4b2

=1，
∴（a²-c²）c²+3a²c²=4a²（a²-c²），
整理，得e⁴-8e²+4=0，
∴e2=

8± 64-16

2

=4±2

3

，
∵0＜e＜1，∴e=

3

-1．
故选D．

点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．