题目内容
（2012•鹰潭一模）已知椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S．当直线l变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，求此定直线方程；若不是，请说明理由．
分析：（1）根据过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M(
，2)，可得
+
=1，求出a2=9，b2=a2-c2=6，从而可得椭圆C的方程；
（2）利用特殊位置猜想结论，再进行一般性的证明．将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理可以证明．
| 3 |
| 3 |
| a2 |
| 4 |
| a2-3 |
（2）利用特殊位置猜想结论，再进行一般性的证明．将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理可以证明．
解答：解：（1）∵过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M(
，2)．
∴c=
，b2=a2-c2=a2-3．
∵点M(
，2)在椭圆上，∴
+
=1，
∴3a2-9+4a2=a4-3a2
∴a4-10a2+9=0，∴（a2-9）（a2-1）=0，
∴a2=9或a2=1＜c2（舍去）．
∴b2=a2-c2=6．
∴椭圆C的方程为
+
=1．…（4分）
（2）当l⊥x轴时，P(1，
)，Q(1，-
)，又A1（-3，0），A2（3，0）
lA1P：y=
(x+3)，lA2Q：y=
(x-3)，联立解得S(9，4
)．
当l过椭圆的上顶点时，y=
-
x，P(0，
)，Q(
，-
)lA1P：y=
(x+3)，lA2Q：y=
(x-3)，联立解得S(9，4
)．
若定直线存在，则方程应是x=9．…（8分）
下面给予证明．
把x=my+1代入椭圆方程，整理得（2m2+3）y2+4my-16=0，△＞0成立，记P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=
，y1y2=
．
lA1P：y=
(x+3)，lA2Q：y=
(x-3)
当x=9时，纵坐标y应相等，
=
，须
=
须2y1（my2-2）=y2（my1+4），须my1y2=4（y1+y2）
∵y1+y2=
，y1y2=
．
∴m×
=4×
成立．
综上，定直线方程为x=9．…（14分）
| 3 |
∴c=
| 3 |
∵点M(
| 3 |
| 3 |
| a2 |
| 4 |
| a2-3 |
∴3a2-9+4a2=a4-3a2
∴a4-10a2+9=0，∴（a2-9）（a2-1）=0，
∴a2=9或a2=1＜c2（舍去）．
∴b2=a2-c2=6．
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 6 |
（2）当l⊥x轴时，P(1，
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
lA1P：y=
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 3 |
当l过椭圆的上顶点时，y=
| 6 |
| 6 |
| 6 |
| 9 |
| 5 |
4
| ||
| 5 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 6 |
若定直线存在，则方程应是x=9．…（8分）
下面给予证明．
把x=my+1代入椭圆方程，整理得（2m2+3）y2+4my-16=0，△＞0成立，记P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=
| -4m |
| 2m2+3 |
| -16 |
| 2m2+3 |
lA1P：y=
| y1 |
| x1+3 |
| y2 |
| x2-3 |
当x=9时，纵坐标y应相等，
| 12y1 |
| x1+3 |
| 6y2 |
| x2-3 |
| 12y1 | ||
m
|
| 6y2 |
| my2-2 |
须2y1（my2-2）=y2（my1+4），须my1y2=4（y1+y2）
∵y1+y2=
| -4m |
| 2m2+3 |
| -16 |
| 2m2+3 |
∴m×
| -16 |
| 2m2+3 |
| -4m |
| 2m2+3 |
综上，定直线方程为x=9．…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查探究性问题，解题的关键是利用特殊位置猜想结论，再进行证明．
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