题目内容

函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：
①对任意x∈R，有f（x）＞0； ②对任意x、y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；　③ $数学公式$ ．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）在R上是单调增函数；
（3）若f（2）=2，且x满足 $数学公式$ ，求函数 $数学公式$ 的最大值和最小值．

解：（1）令x=0，y=2，得：f（0）=[f（0）]²，∵f（0）＞0，∴f（0）=1．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则p₁＜p₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，p₁＜p₂，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是单调增函数；
（3）由（2）及 $\text{[math]}$ 知， $\text{[math]}$ ，
又f（2log₂x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =x，
于是y=2x+ $\text{[math]}$ =2（x+ $\text{[math]}$ ）在[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上单调递减，在[ $\text{[math]}$ ，2]上单调递增，
f（ $\text{[math]}$ ）=3，f，2）= $\text{[math]}$ ，因此最大值为x=2时，y= $\text{[math]}$ ，最小值为x= $\text{[math]}$ 时，y=2 $\text{[math]}$
综上所述， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，，最小值为2 $\text{[math]}$
分析：（1）令x=0，y=2，代入可得答案；
（2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，作差后由函数的性质可判单调性；
（3）由（2）及已知条件化简所给函数，由函数的单调性可得最值．
点评：本题为抽象函数的综合应用，涉及函数的单调性和最值，属中档题．