题目内容
已知函数f（x）=lnx+（x-a）2，a∈R．
（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若函数f（x）在
上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围．
解：（1）定义域为（0，+∞），
∵
，…（3分），
∴f（x）在[1，e]上单调递增，…（5分）
∴当x=1时，f（x）min=f（1）=1…（7分）
（2）
，…（9分）
由题可知，在区间上存在子区间使不等式2x2-2ax+1＞0成立使成立
又x＞0，∴
在上有解…（11分）
令
，则只需2a小于g（x）在上的最大值
由
知
，
∴g（x）在
上单调递增，在
上单调递减，…（13分）
∴
又
，
故
，即
…（15分）
分析：（1）确定函数的定义域为（0，+∞），求导函数，确定f（x）在[1，e]上单调递增，从而可求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）求导函数，则在区间上存在子区间使不等式2x2-2ax+1＞0成立使成立，可转化为在上有解，求出右边函数的最大值，即可求实数a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，区分有解与恒成立问题是关键．
∵
，…（3分），∴f（x）在[1，e]上单调递增，…（5分）
∴当x=1时，f（x）min=f（1）=1…（7分）
（2）
，…（9分）由题可知，在区间
上存在子区间使不等式2x2-2ax+1＞0成立使成立又x＞0，∴
在上有解…（11分）令
，则只需2a小于g（x）在上的最大值由
知，∴g（x）在
上单调递增，在上单调递减，…（13分）∴
又
，故
，即…（15分）分析：（1）确定函数的定义域为（0，+∞），求导函数，确定f（x）在[1，e]上单调递增，从而可求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）求导函数，则在区间
上存在子区间使不等式2x2-2ax+1＞0成立使成立，可转化为在上有解，求出右边函数的最大值，即可求实数a的取值范围．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，区分有解与恒成立问题是关键．
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