Question

（08年天津南开区质检一理）（14分）

设函数满足，数列和满足下列条件：，，。

（1）求的解析式；

（2）求的通项公式；

（3）试比较与的大小，并证明你的结论。

Answer 1

解析：本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的通项公式，不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数字知识分析问题和解决问题的能力。

（1）解：由已知  

∴

联立解得（4分）

（2）解：由（1）知    ∴

两式相减

即    ∴

∴    ∴ 数列是公比为2的等比数列

又∵      ∴    ∴    ∴

∴      ∴ （10分）

（3）解：由（2），而已知

联立解得     ∴

∴

时，   ∴ ；

时，    ∴ ；

时，    ∴ ；

时，    ∴ ；

猜想时，   即

时，显然成立

假设当时，命题正确，即

当时，

即

不等式也成立，故对一切且，

综合：当时，；当时，；当时，（14分）