Question

已知函数=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值.

       (1)讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值;

       (2)过点A(0,16)作曲线y=的切线,求此切线方程.

Answer 1

解析:(1) =3ax²+2bx-3,?

       依题意f′(-1)=f′(1)=0,?

       即?

       解得a=1,b=0.?

       所以=x³-3x, =3x²-3=3(x+1)(x-1).?

       令=0,得x=-1,x=1.?

       若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则>0,?

       故在(-∞,-1)上是增函数, 在(1,+∞)上是增函数.?

       若x∈(-1,1),则<0,故在(-1,1)上是减函数.?

       所以f(-1)=2是极大值,f(1)=-2是极小值.?

       (2)曲线方程为y=x³-3x,点A(0,16)不在曲线上.?

       设切点为M(x₀,y₀),?

       则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀.?

       因f′(x₀)=3(x₀²-1),?

       故切线的方程为y-y₀=3(x₀²-1)(x-x₀).?

       注意到点A(0,16)在切线上,?

       有16-(x₀³-3x₀)=3(x₀²-1)(0-x₀),?

       化简得x₀³=-8,解得x₀=-2,?

       所以切点为M(-2,-2),切线方程为9x-y+16=0.