题目内容
如图，已知P是椭圆
上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆的中心，B是椭圆的上顶点，H是直线
（c是椭圆的半焦距）与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率的平方的值．
解：依题意，作图如下：
∵F（c，0）是椭圆的右焦点，PF⊥OF，
∴P（c，
），
∴直线OP的斜率k=
=
；
又H是直线（c是椭圆的半焦距）与x轴的交点，
∴H（-
，0），又B（0，b），
∴直线HB的斜率k′=
=
；
∵HB∥OP，
∴=，
∴c2=ab，又b2=a2-c2，
∴c4=a2b2=a2（a2-c2），
∴e4+e2-1=0，
∴e2=
．
分析：依题意，可求得P（c，），H（-，0），利用HB∥OP求得c2=ab，再利用椭圆的性质即可求得e2．
点评：本题考查椭圆的性质，利用HB∥OP求得c2=ab是关键，考查分析与计算能力，属于中档题．
∵F（c，0）是椭圆的右焦点，PF⊥OF，
∴P（c，
），∴直线OP的斜率k=
=；又H是直线
（c是椭圆的半焦距）与x轴的交点，∴H（-
，0），又B（0，b），∴直线HB的斜率k′=
=；∵HB∥OP，
∴
=，∴c2=ab，又b2=a2-c2，
∴c4=a2b2=a2（a2-c2），
∴e4+e2-1=0，
∴e2=
．分析：依题意，可求得P（c，
），H（-，0），利用HB∥OP求得c2=ab，再利用椭圆的性质即可求得e2．点评：本题考查椭圆的性质，利用HB∥OP求得c2=ab是关键，考查分析与计算能力，属于中档题．
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上的一个动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，弦AB过点F2，当AB⊥x轴时，恰好有|AF1|=3|AF2|．
上的一个动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，弦AB过点F2，当AB⊥x轴时，恰好有|AF1|=3|AF2|．