Question

已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

Answer 1

分析：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P={M||MA|=

1

2

|MB|}．由两点距离公式，能求出动点M的轨迹方程．
（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x₁，y₁）．由A（2，0），且N为线段AM的中点，知x₁=2x-2，y₁=2y，由M是圆x²+y²=16上的点，知M坐标（x₁，y₁）满足：x₁²+y₁²=16，由此能求出点N的轨迹．

解答：解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合
P={M||MA|=

1

2

|MB|}．（1分）
由两点距离公式，点M适合的条件可表示为

(x-2)2+y2

=

1

2

(x-8)2+y2

，
（3分）
平方后再整理，得x²+y²=16．（5分）
（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x₁，y₁）．（6分）
由于A（2，0），且N为线段AM的中点，所以x=

2+x1

2

，y=

0+y1

2

所以有x₁=2x-2，y₁=2y①（8分）
由（1）题知，M是圆x²+y²=16上的点，
所以M坐标（x₁，y₁）满足：x₁²+y₁²=16②（9分）
将①代入②整理，得（x-1）²+y²=4．（11分）
所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆（12分）

点评：本题考查轨迹方程，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的合理运用．