Question

【题目】抛物线：的焦点为，抛物线过点.

（Ⅰ）求抛物线的标准方程与其准线的方程；

（Ⅱ）过点作直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线的准线上.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为，准线的方程为；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）将代入，得出，即可得出抛物线的标准方程和准线方程.

（Ⅱ）设，，联立直线方程与椭圆方程，得出，利用韦达定理可得出，，对抛物线方程求导，进而求出过，的抛物线的切线方程，再联立两方程求出两条切线的交点，得出两条切线的交点在抛物线的准线上.

（Ⅰ）由，得，所以抛物线的标准方程为，准线的方程为.

（Ⅱ）根据题意直线的斜率一定存在，又焦点，设过点的直线方程为，联立

，得，.

设，，则，.

∴.

由得，，过，的抛物线的切线方程分别为

，

即，两式相加，得

，化简，得，即，

所以，两条切线交于点，该点显然在抛物线的准线：上.