题目内容
如图，半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，△BCD是平面α内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是R•arccos
| 17 |
| 25 |
R•arccos
．（用R表示）| 17 |
| 25 |
分析：求解本题需要根据题意求解出题目中的角MON的余弦，再代入求解，即可求出MN的两点距离．
解答：解：由已知，AB=2R，BC=R，
故tan∠BAC=
cos∠BAC=
连接OM，则△OAM为等腰三角形
AM=2AOcos∠BAC=
R，
同理AN=
R，且MN∥CD
而AC=
R，CD=R
故MN：CD=AN：AC
?MN=
R，
连接OM、ON，有OM=ON=R
于是cos∠MON=
=
所以M、N两点间的球面距离是 Rarccos
．
故答案为：R•arccos
．
故tan∠BAC=
| 1 |
| 2 |
cos∠BAC=
2
| ||
| 5 |
连接OM，则△OAM为等腰三角形
AM=2AOcos∠BAC=
4
| ||
| 5 |
同理AN=
4
| ||
| 5 |
而AC=
| 5 |
故MN：CD=AN：AC
?MN=
| 4 |
| 5 |
连接OM、ON，有OM=ON=R
于是cos∠MON=
| OM2+ON2-MN2 |
| 2OM•ON |
| 17 |
| 25 |
所以M、N两点间的球面距离是 Rarccos
| 17 |
| 25 |
故答案为：R•arccos
| 17 |
| 25 |
点评：本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球面上的点的距离求解，是中档题．
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