Question

已知函数f(x)＝lg［(a²－1)x²＋(a＋1)x＋1］

(1)若f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围．

(2)若f(x)的值域为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵f(x)的定义域为(－∞，＋∞) ∴(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0，对一切x∈R恒成立 当a2－1≠0时， ∴a＜－1或a＞ 当a2－1＝0时，若a＝－1，则f(x)＝0，定义域也是(－∞，＋∞) 若a＝1，则f(x)＝lg(2x＋1)，定义域不是(－∞，＋∞) 故所求a的取值范围是(－∞，－1]∪(，＋∞)． (2)∵f(x)值域为(－∞，＋∞) ∴只要t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取到(0，＋∞)内的任何一个值． ∴ ∴1＜a≤ 又当a2－1＝0时，若a＝1，则f(x)＝lg(2x＋1)其值域也 是(－∞，＋∞)，若a＝－1，则f(x)＝0不合题意 ∴所求a的取值范围是［1，］

提示：

本题考查了换元转化思想和分类讨论思想，理解对数函数概念，特别是把握定义域、值域的含义是解题的关键．特别是(2)中，f(x)值域是R的含义是真数部分即t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1在x取值时需取满(0，＋∞)的每一个值，否则f(x)的值域就不是R，这就要求t关于x的二次函数不能有比零大的最小值．因此Δ≥0，这时要注意f(x)的定义域就不是R集合了，而是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1，x2分别为相应二次方程的小根、大根．