题目内容
已知函数f(x)＝lg［(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1］(1)若f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围．
(2)若f(x)的值域为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围．
答案：
解析：
提示：
解析：
| (1)∵f(x)的定义域为(－∞，＋∞)
∴(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0，对一切x∈R恒成立 当a2－1≠0时，
∴a＜－1或a＞ 当a2－1＝0时，若a＝－1，则f(x)＝0，定义域也是(－∞，＋∞) 若a＝1，则f(x)＝lg(2x＋1)，定义域不是(－∞，＋∞) 故所求a的取值范围是(－∞，－1]∪( (2)∵f(x)值域为(－∞，＋∞) ∴只要t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取到(0，＋∞)内的任何一个值． ∴ ∴1＜a≤ 又当a2－1＝0时，若a＝1，则f(x)＝lg(2x＋1)其值域也 是(－∞，＋∞)，若a＝－1，则f(x)＝0不合题意 ∴所求a的取值范围是［1， |
提示：
| 本题考查了换元转化思想和分类讨论思想，理解对数函数概念，特别是把握定义域、值域的含义是解题的关键．特别是(2)中，f(x)值域是R的含义是真数部分即t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1在x取值时需取满(0，＋∞)的每一个值，否则f(x)的值域就不是R，这就要求t关于x的二次函数不能有比零大的最小值．因此Δ≥0，这时要注意f(x)的定义域就不是R集合了，而是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1，x2分别为相应二次方程的小根、大根． |
练习册系列答案
相关题目
时，函数t(x)＝f(x)＋g(x)的图像记为曲线C，曲线C在点(0,1)处的切线为l，是否存在a使l与曲线C有且仅有一个公共点？若存在，求出所有a的值；否则，说明理由．