Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=3，

bn+1

bn

 =2 (n∈N*)，b_n=a_n+1-a_n．
（1）求数列{b_n}，{a_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=b_n•log₂（a_n+1）（n∈N^*），求S_n=c₁+c₂+…+c_n．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=3，

bn+1

bn

 =2 (n∈N*)，b_n=a_n+1-a_n，知{b_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，由此求出bn=2n．从而利用累加法能求出a_n=2ⁿ-1．
（2）由a_n=2ⁿ-1，b_n=2^n-1，知c_n=b_n•log₂（a_n+1）=2n-1•log22n=n•2^n-1，由此利用错位相减法能求出S_n=c₁+c₂+…+c_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=3，

bn+1

bn

 =2 (n∈N*)，b_n=a_n+1-a_n，
∴b₁=a₂-a₁=3-1=2，
∴{b_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴bn=2n．
∴a₂-a₁=2，
a₃-a₂=2²，
…
a_n-a_n-1=2^n-1，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+2²+…+2^n-1
=

1×(1-2n)

1-2

=2ⁿ-1．
（2）∵a_n=2ⁿ-1，b_n=2^n-1，
∴c_n=b_n•log₂（a_n+1）=2n-1•log22n=n•2^n-1，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2⁰+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1×(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴Sn=n•2n-2ⁿ+1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法和错位相减法的合理运用．