Question

已知向量

a

=（cosx，-

1

2

），

b

=（

3

sin x，cos 2x），x∈R，设函数f(x)=

a

•

b

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，

3π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积运算，结合二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求f（x）的最小正周期；
（2）由0≤x≤

3π

4

，可得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

4π

3

，由正弦函数的性质，可求f（x）在[0，

3π

4

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵向量

a

=（cosx，-

1

2

），

b

=（

3

sinx，cos2x），
∴函数f(x)=

a

•

b

=（cosx，-

1

2

）•（

3

sinx，cos2x）=

3

cosxsinx-

1

2

cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=cos

π

6

sin2x-sin

π

6

cos2x=sin（2x-

π

6

）．
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

ω

=

2π

2

=π，
即函数f（x）的最小正周期为π．
（2）∵0≤x≤

3π

4

，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

4π

3

，
∴由正弦函数的性质，
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）取得最大值1．
当2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0时，f（0）=-

1

2

，
当2x-

π

6

=

4π

3

，即x=

3π

4

时，f（x）=-

3

2

，
∴f（x）的最小值为-

3

2

因此，f（x）在[0，

3π

4

]上最大值是1，最小值是-

3

2

．

点评：本题考查向量的数量积运算、二倍角、辅助角公式，考查正弦函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简是关键．