Question

设{a_n}是首项是1的正项数列，且(n+1)

a

2 n+1

-n

a

2 n

+an+1an=0（n=1.2，3，…），则a_n=

1

n

．

Answer 1

分析：将(n+1)

a

2 n+1

-n

a

2 n

+an+1an=0分解因式：[(n+1)

a

n+1

-n

a

n

]

(a

n+1

+an)=0，由已知，(n+1)

a

n+1

-n

a

n

=0，即

an+1

an

=

n

n+1

，利用累积法求解即可．

解答：解：将(n+1)

a

2 n+1

-n

a

2 n

+an+1an=0分解因式：[(n+1)

a

n+1

-n

a

n

]

(a

n+1

+an)=0，
因为{a_n}是首项是1的正项数列，
所以只能有：(n+1)

a

n+1

-n

a

n

=0，
即

an+1

an

=

n

n+1

所以

a2

a1

=

1

2

a3

a2

=

2

3

…

an

an-1

=

n-1

n

（n≥2）
以上各式相乘得出a_n=

1

n

（n≥2），且对n=1也成立．所以a_n=

1

n

故答案为：

1

n

点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，累积法．考查变形构造、转化、计算能力．