题目内容

已知f （x）=2cos² x+2 $数学公式$ sin xcos x+a （a为常数）．
（1）求f （x）的单调递增区间；
（2）若f （x）在区间[- $数学公式$ ， $数学公式$ ]上的最大值与最小值之和为3，求a的值．

解：（1）f （x）=2cos²x+2 $\text{[math]}$ sin xcosx+a
=2cos²x-1+2 $\text{[math]}$ sin xcosx+a+1
=2cos2x+ $\text{[math]}$ sin 2x+a+1
=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+a+1
令2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，
即kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
∴f （x）的单调递增区间是[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）（6分）
（2）因为x∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
所以2x+ $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
所以 $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1，
所以-1≤2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤2，
所以a≤2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤a+3，
∴f （x）_min+f （x）_max=a+a+3=3，
∴a=0．（12分）
分析：（1）先利用二倍角公式及和角正弦公式化简函数f（x）为一个角一个函数的形式，令2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，求出x的范围写出区间形式即得到f （x）的单调递增区间；
（2）根据x∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]求出整体角的范利用三角函数的单调性求出函数的最值，根据题意列出方程进一步求出a的范围．
点评：本题考查求三角函数的性质问题应该先根据三角函数的公式化简三角函数为只含一个角一个函数名的形式，然后利用整体角处理，属于中档题．