Question

已知函数y=log₂

x

4

•log₄

x

2

（2≤x≤4），
（1）求当x=4

2

3

时对应的y值；
（2）令t=log₂x，求y关于t的函数关系式，t的范围；
（3）求该函数的值域．

Answer 1

分析：（1）由函数y的解析式，利用对数的运算法则求得当x=4

2

3

时对应的y=log2

4 2 3

4

•log4

4 2 3

2

=log2 (2-

2

3

)•log4(

4 2 3

4 1 2

) 的值．
（2）令t=log₂x，则 y=（log₂x-2）•（log₄x-log₄2）=

1

2

（t²-3t+2）．再根据2≤x≤4，可得t的范围．
（3）y=

1

2

（t²-3t+2）=

1

2

（t-

3

2

）²-

1

8

，再利用二次函数的性质求得函数y的值域．

解答：解：（1）∵函数y=log₂

x

4

•log₄

x

2

 （2≤x≤4），
∴当x=4

2

3

时对应的y值为 log2

4 2 3

4

•log4

4 2 3

2

=log2 (2-

2

3

)•log4(

4 2 3

4 1 2

)=（-

2

3

）•log4(4 

1

6

)=-

2

3

×

1

6

=-

1

9

．
（2）令t=log₂x，则 y=（log₂x-2）•（log₄x-log₄2）=（log₂x-2）•（

1

2

log₂x-

1

2

）=

1

2

t²-

3

2

t+1=

1

2

（t²-3t+2）=

1

2

（t-1）（t-2）．
再根据2≤x≤4，可得1≤t≤2．
（3）解：y=

1

2

（t²-3t+2）=

1

2

（t-

3

2

）²-

1

8

．
故当t=

3

2

时，y取最小值-

1

8

，当t=2或1时，y取最大值0，
∴该函数的值域为[-

1

8

，0]．

点评：本题主要考查对数的运算性质，二次函数的性质应用，属于中档题．