题目内容

若非零向量
a
，
b
满足|
a
+
b
|=|
a
-
b
|=λ|
b
|(λ≥2)，则
a
+
b
与
a
-
b
夹角的最大值为（　　）
分析：由题意可得，以
a
、
b
为邻边的平行四边形的两条对角线相等，都等于|
b
|的λ倍．设
a
+
b
与
a
-
b
夹角为θ，由余弦定理求得 cosθ=1-
2
λ2
．由 λ≥2 求得 cosθ 的范围，从而求得θ的最大值．
解答：解：∵非零向量
a
，
b
满足|
a
+
b
|=|
a
-
b
|=λ|
b
|(λ≥2)，则以
a
、
b
为邻边的平行四边形的两条对角线相等，都等于|
b
|的λ倍．
如图所示：设矩形ABCD中，
AB
=
a
，
AD
=
b
，AC与 BD交与点O，则
a
+
b
与
a
-
b
夹角等于∠AOD，
设
a
+
b
与
a
-
b
夹角为θ，|
b
|=x，在△AOD中，由余弦定理可得 x2=(
λx
2
)2+(
λx
2
)2-2•
λx
2
•
λx
2
•cosθ，
解得 cosθ=1-
2
λ2
．
∵λ≥2，∴
2
λ2
≤
1
2
，∴cosθ≤
1
2
．
再由0≤θ≤π 可得 θ≥
π
3
，故θ的最大值为
π
3
，
故选A．
点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量夹角公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
8、若非零向量a，b满足|a+b|=|b|，则（　　）
下列命题中假命题 是（　　）
A、若|
a
•
b
|=|
a
|•|
b
|，则
a
∥
b
B、
a
=(-1，1)在
b
=(3，4)方向上的投影为
1
5
C、若△ABC中，a=5，b=8，c=7，则
BC
•
CA
=20
D、若非零向量
a
、
b
满足|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，则
a
⊥
b
给出下列五个判断：
①若非零向量
a
、
b
满足
a
∥
b
，则向量
a
、
b
所在的直线互相平行或重合；
②在△ABC中，
AB
+
BC
+
CA
=
0
；
③已知向量
a
、
b
为非零向量，若
a
•
b
=
a
•
c
，则
b
=
c
；
④向量
a
、
b
满足|
a
•
b
|=|
a
|•|
b
|，则
a
∥
b
；
⑤已知向量
a
、
b
为非零向量，则有(
a
•
b
)•
c
=
a
•(
b
•
c
)．
其中正确的是
 
．（填入所有正确的序号）
若非零向量
a
，
b
满足|
a
|=|
b
|，且
a
⊥
b
，又知(2
a
+5
b
)⊥(k
a
-2
b
)，实数k的值是
5
5
．
若非零向量
a
、
b
满足|
a
一
b
|=|
b
|，则（　　）

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