Question

已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量

p

=(cosB，-sinB)，

q

=(cosC，sinC)，且(

q

-2

p

)⊥

q

．
（1）求∠A的大小；
（2）若BC=2

3

， AC+AB=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量垂直时，其数量积为0，列出等式，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化简，得到cos（B+C）的值，由B+C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B+C的度数，由三角形的内角和定理求出A的度数；
（2）利用余弦定理表示出BC²，配方后将BC，AC+AB及cosA的值代入即可求出AB与AC的积，然后由求出的AB与AC的积，以及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）由(

q

-2

p

)⊥

q

，可得(

q

-2

p

)•

q

=0，（2分）
即|

q

|2-2

p

•

q

=0，又

p

=(cosB，-sinB)，

q

=(cosC，sinC)
所以cos²C+sin²C-2（cosBcosC-sinBsinC）=0，
即cos(B+C)=

1

2

，又0＜B+C＜π，（6分）
∴B+C=

π

3

，
故A=π-(B+C)=

2π

3

．　（8分）
（2）在△ABC中，由BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA，
可得BC²=（AB+AC）²-2AB•AC（1+cosA），（10分）
即(2

3

)2=42-2AB•AC•(1-

1

2

)，
故AB•AC=4，（12分）
∴S=

1

2

AB•ACsinA=

1

2

×4×

3

2

=

3

．（14分）

点评：此题考查了平面向量的数量积的运算，三角函数的恒等变形及化简，余弦定理及三角形的面积公式，要求学生熟练掌握公式及定理，牢记特殊角的三角函数值，注意利用三角形内角和定理．