Question

已知函数f（x）=x²-4x+3．
（Ⅰ）求证：对于任意的x（x∈R）都有f（sinx）≥0恒成立．
（Ⅱ）若锐角a满足f（4sinα）=f（2cosα），求sinα．
（Ⅲ）若f（2^x+2^-x+a）＜f（

3

2

）对于任意的x∈[-1，1]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵x≤1或x≥3时，f（x）≥0
∵-1≤sinx≤1
∴f（sinx）≥0
（Ⅱ）∵f（4sinα）=f（2cosα）
∴4sinα=2cosα或4sinα+2cosα=4且α是锐角
∴sinα=

2 5

5

或sinα=

3

5

（Ⅲ）g（x）=2^x+2^-x+a（x∈[-1，1]）是偶函数，且g（x）在[-1，0]是减函数，在[0，1]上是增函数．
∴

g(x)min=2+a＞ 3 2 g(x)max= 5 2 +a＜ 5 2

解得-

1

2

＜a＜0