题目内容

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈R）在 $数学公式$ 处取得极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线y+2=0平行．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对x∈[-1，2]都有f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

解：（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=3x²+2ax+b
∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈R）在 $\text{[math]}$ 处取得极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线y+2=0平行
∴ $\text{[math]}$ ，∴a=- $\text{[math]}$ ，b=-2
（Ⅱ）对x∈[-1，2]都有f（x）＜c²恒成立，等价于对x∈[-1，2]都有x³- $\text{[math]}$ x²-2x＜c²-c恒成立，
设y=x³- $\text{[math]}$ x²-2x，则y′=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）
解（x-1）（3x+2）=0得x=- $\text{[math]}$ 或x=1
当x∈（-1，- $\text{[math]}$ ）时，y'＞0；当x∈（- $\text{[math]}$ ，1）时，y'＜0；当x∈（1，2）时，y'＞0
则f（x）极大值= $\text{[math]}$ ，f（x）极小值=- $\text{[math]}$
又f（-1）= $\text{[math]}$ ，f（2）=2，所以f（x）_最大值=2；
∴2＜c²-c
∴c＜-1或c＞2．
分析：（Ⅰ）求导函数，根据函数f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈R）在 $\text{[math]}$ 处取得极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线y+2=0平行，建立方程，即可求a，b的值；
（Ⅱ）依题意得对x∈[-1，2]都有x³- $\text{[math]}$ x²-2x＜c²-c恒成立，利用导数法，确定左边对应函数的最大值，可得不等式，从而可求c的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，确定函数的单调性，求最值是关键．