Question

设F₁，F₂分别是椭圆

x2

4

+y2=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且P、F₁、F₂三点构成一直角三角形，则点P的纵坐标为

3

3

或

1

2

．

Answer 1

分析：P是第一象限内该椭圆上的一点，且P、F₁、F₂三点构成一直角三角形，故可分为两类：①当∠P为直角时，利用等面积可求；②当∠PF₂F₁为直角时，P的横坐标为

3

，代入椭圆方程可求．

解答：解：由题意，P是第一象限内该椭圆上的一点，且P、F₁、F₂三点构成一直角三角形，故可分为两类：
①当∠P为直角时，设P的纵坐标为y，则F₁，F₂分别是椭圆

x2

4

+y2=1的左、右焦点
∴|PF₁|+|PF₂|=4，|F₁F₂|=2

3

∵∠P为直角，∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
∵|PF₁|+|PF₂|=4，|F₁F₂|=2

3

∴|PF₁||PF₂|=2
∴S△PF1F2=

1

2

|PF₁||PF₂|=1
∵S△PF1F2=

1

2

|F1F2|×y=

3

y
∴

3

y=1
∴y=

3

3

②当∠PF₂F₁为直角时，P的横坐标为

3

设P的纵坐标为y（y＞0），则

( 3 )2

4

+y2=1，∴y=

1

2

故答案为：

3

3

或

1

2

点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆上点的坐标的求解，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．