Question

【题目】定义在R上的函数和二次函数满足：，，

（1）求和的解析式；

（2）若对于，，均有成立，求a的取值范围；

（3）设，在（2）的条件下，讨论方程的解的个数．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）通过代替，推出方程，求解函数的解析式．利用是二次函数，且，可设，然后求解即可．

（2）设，，转化条件为当时，，通过函数的单调性求解函数的最值，列出关系式即可求出实数的取值范围．

（3）设，由（2）知，画出函数在的图象，设，则当，当，当，当，分别判断函数的图象交点个数，得到结论．

解：（1），①，即，②

由①②联立解得：．

是二次函数，且，可设，

由，解得．

，．

（2）设，，

依题意知：当时，

，在上单调递增，

，解得：

实数的取值范围为．

（3）设，由（2）知，的图象如图所示：

设，则

当，即时，，，有两个 解，有3个解；

当，即时，且，有3个解；

当，即时，，有2个解；

当，即时，，有1个解．

综上所述：

当时，方程有5个解；

当时，方程有3个解．