Question

设f（x）=loga

1-mx

x-1

是奇函数（a＞0且a≠1），
（1）求出m的值
（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞1），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由 题意可得f（-x）=-f（x），代入可求m
（2）利用函数单调性的定义即可证明：设x₁，x₂∈[α，β]，则1＜x₁＜x₂，对函数值作差f（x₁）-f（x₂）=log_a

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

结合已知可判断

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

的正负，进而讨论当0＜m＜1时，及m＞1时，f（x₁）-f（x₂）的符号，即可证明

解答：解：（1）由题意可得f（-x）+f（x）=0   …（1分）  
即loga

1-mx

x-1

+loga

1+mx

-x-1

=0
∴loga (

1-mx

x-1

•

1+mx

-x-1

)=loga

(mx)2-1

x2-1

=0
∴

(mx)2-1

x2-1

=1   …（2分）
∴（mx）²-1=x²-1
∴m=±1 
∴m=-1     m=1（舍）  …（4分）
（2）当0＜m＜1时，f（x）为增函数；m＞1时，f（x）为减函数，判断如下
∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]?（1，+∞）．
设x₁，x₂∈[α，β]，则1＜x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）loga

x1+1

x1-1

loga

x2+1

x2-1

=log_a

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

∵（1+x₁）（x₂-1）-（x₁-1）（1+x₂）=2（x₂-x₁）＞0
∴（1+x₁）（x₂-1）＞（x₁-1）（1+x₂）即

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＞1
∴当0＜m＜1时，loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
当m＞1时，log_a

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＞0，即定义在证明函数f（x₁）＞f（x₂），
故当0＜m＜1时，f（x）为增函数；m＞1时，f（x）为减函数．                   …（10分）

点评：本题主要考查了奇函数的定义f（-x）=-f（x）的应用，及函数的单调性及函数的单调性的定义在证明函数单调中的应用，属于函数知识的综合应用