Question

（2012•香洲区模拟）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右顶点A为抛物线y²=8x的焦点，上顶点为B，离心率为

3

2

（1）求椭圆C的方程；
（2）过点(0，

2

)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，若线段PQ的中点横坐标是-

4 2

5

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右顶点A为抛物线y²=8x的焦点，确定a的值，根据离心率，可得椭圆的几何量，从而可得椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，根据线段PQ的中点横坐标是-

4 2

5

，即可求得直线l的方程．

解答：解：（1）抛物线y²=8x的焦点为A（2，0），
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右顶点A为抛物线y²=8x的焦点
∴a=2…（2分）
∵离心率e=

c

a

=

3

2

，∴c=

3

…（3分）
故b²=a²-c²=1…（5分）
所以椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1…（6分）
（2）设直线l：y=kx+

2

由

y=kx+ 2 x2+4y2=4

，消去y可得(4k2+1)x2+8

2

kx+4=0…（8分）
因为直线l与椭圆C相交于P，Q两点，所以△=128k²-16（4k²+1）＞0
解得|k|＞

1

2

…（9分）
又x1+x2=

-8 2 k

4k2+1

，x1x2=

4

4k2+1

…（10分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中点M（x₀，y₀）
因为线段PQ的中点横坐标是-

4 2

5

，所以x0=

x1+x2

2

=

-4 2 k

4k2+1

=-

4 2

5

…（12分）
解得k=1或k=

1

4

…（13分）
因为|k|＞

1

2

，所以k=1
因此所求直线l：y=x+

2

…（14分）

点评：本题考查抛物线的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．