Question

在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|=|DM|，点P在圆上运动．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过定点C（-1，0）的直线与点M的轨迹交于A、B两点，在x轴上是否存在点N，使为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设M（x，y），利用|DP|=|DM|，确定P，M坐标之间的关系，再将P点的坐标后代入圆的方程即可得；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的数量积运算，化简即可得到结论．
解答：解：（I）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y₁）
∵|DP|=|DM|，∴
∵P（x，y₁）在圆x²+y²=4上，∴
∴x²+2y²=4
∴点M的轨迹C的方程为；
（Ⅱ）假设存在N（n，0）
AB斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程：y=k（x+1），
代入椭圆方程得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-4=0，∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵，
∴=（x₁-n，y₁）•（x₂-n，y₂）=（1+k²）x₁x₂+=
∵是与k无关的常数，
∴
∴n=-，即N（-，0），此时
当直线AB与x垂直时，n=-时
综上所述，在x轴上存在定点N（-，0），使为常数．
点评：本题考查了利用相关点法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．