题目内容

已知函数 $数学公式$
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点A（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

解：（I）a=1时，f（x）=（x²-2x+1）e^x，f′（x）=（x²-1）e^x，
于是f（0）=1，f′（0）=-1，
所以函数f（x）的图象在点A（0，f（0））处的切线方程为y-1=-（x-0），即x+y-1=0．
（II）f′（x）=（2x- $\text{[math]}$ ）e^ax+（x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）•a•e^ax
=（2x- $\text{[math]}$ +ax²-2x+1）e^ax
=（ax²+ $\text{[math]}$ ）e^ax，
∵a＞0，e^ax＞0，
∴只需讨论ax²+ $\text{[math]}$ 的符号．
ⅰ）当a＞2时，ax²+ $\text{[math]}$ ＞0，这和f′（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
ⅱ）当a=2时，f′（x）=2x²e^2x≥0，函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
ⅲ）当0＜a＜2时，令f′（x）=0，解得x₁=- $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ．
当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞， $\text{[math]}$ ），	- $\text{[math]}$	（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f（x）在（-∞， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ，+∞）为增函数，f（x）在（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）为减函数；
分析：（I）a=1时，可求得切线的斜率k=f′（0）及f（0），从而利用直线的点斜式可得函数f（x）的图象在点A（0，f（0））处的切线方程；
（II）求得f′（x）═（ax²+ $\text{[math]}$ ）e^ax，讨论ax²+ $\text{[math]}$ 的符号，即可研究函数的单调性．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，讨论ax²+ $\text{[math]}$ 的符号是关键，也是难点，考查综合分析与运算的能力，属于难题．