Question

（2008•闸北区二模）函数f（x）=ax|x-b|在区间[0，+∞）上是增函数的充要条件是

a＞0且b≤0

．

Answer 1

分析：可将此函数的解析式化为分段函数的形式，由于要研究函数在区间[0，+∞）上的单调性，只需要研究x≥b这一段上的函数的性质，可先由a＞0且b≤0证明函数是增函数，此是证明充分性，再由函数在区间[0，+∞）上是增函数解得a＞0且b≤0，此是证明必要性，再由充要条件的定义得出答案即可

解答：解：f（x）=ax|x-b|=

ax 2-abx，x≥b -ax 2+abx，x＜b

，由函数的解析式知，x=

b

2

两段上函数图象的对称轴，
当a＞0且b≤0时，函数在[b，+∞）是增函数，故在区间[0，+∞）上是增函数
当函数在区间[0，+∞）上是增函数时，必有a＞0，

b

2

≤0，即a＞0且b≤0
综上证明知，a＞0且b≤0是函数f（x）=ax|x-b|在区间[0，+∞）上是增函数的充要条件
故答案为：a＞0且b≤0

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，函数充要条件的判断，解题的关键是理解充要条件的证明方法及函数单调性的判断规则，本题的重点是函数单调性的判断规则及求函数单调性区间的方法本题考查了数形结合的思想