Question

已知AB是抛物线y²=2Px的任意一条焦点弦，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求证y₁y₂=-p²，x₁x₂=；
（2）若弦AB被焦点分成长为m，n的两部分，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线方程可得焦点坐标，根据点斜式设出焦点弦的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理可求得y₁y₂同理可求得x₁x₂原式得证．
（2）假设直线斜率存在，则可设出直线方程与抛物线方程联立消去y可求得x₁+x₂，再根据抛物线的定义可求得m+n和mn，进而可求得+==．再看当斜率不存在时，也符合．综合可推断．
解答：证明（1）：因为抛物线y²=2px的焦点为（，0）所以过焦点的弦为y=k（x-），即x=+
与y²=2px联立有：
y²--p²=0
所以y₁y₂=-p²
同理可得x₁x₂=
原式得证．
（2）：①设AB：y=k（x-），直线方程与抛物线方程联立消去y得
得k²x²-（k²p+2p）x+=0．
∴x₁+x₂=．
又由抛物线定义可得
m+n=x₁+x₂+p==，
m•n=（x₁+）（x₂+）=，
∴+==．
②若k不存在，则AB方程为x=-，显然符合本题．
综合①②有．
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系．当遇到抛物线焦点弦问题时，常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立，把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题．