题目内容
已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=nan-n（n-1），n∈N*，令bn=
，且数列{bn}的前项和为Tn．
（1）求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；
（2）若不等式λTn＜
（λ为常数）对任意正整数n均成立，求λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．
| 1 |
| an•an+1 |
（1）求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；
（2）若不等式λTn＜
| n+8 |
| 5 |
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．
（1）由Sn=nan-n（n-1），n∈N*①
则当n≥2时，Sn-1=（n-1）an-1-（n-1）（n-2）②
①-②，得an=[nan-n（n-1）]-[（n-1）an-1-（n-1）（n-2）]
整理得，an-an-1=2（n≥2）…（3分）
所以，{an}为等差数列，且公差为2，an=1+2（n-1）=2n-1；
（2）bn=
=
=
(
-
)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=
[(1-
)+(
-
)+(
-
)+…+(
-
)]=
(1-
)=
若不等式λTn＜
对任意正整数n均成立，则λ＜
•
=
[2(n+
)+17]对任意正整数n均成立，
∵n+
≥4，当且仅当n=2∈N*时取“=”，
∴
[2(n+
)+17]的最大值为5∴λ＜5；
（3）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列
则（Tm）2=T1•Tn，即(
)2=
•
所以，
=
从而，
=
=6+
＞6
所以，2m2-4m-1＜0，即1-
＜m＜1+
因为，m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时，n=12
故，当且仅当m=2，n=12时，使得T1，Tm，Tn成等比数列．
则当n≥2时，Sn-1=（n-1）an-1-（n-1）（n-2）②
①-②，得an=[nan-n（n-1）]-[（n-1）an-1-（n-1）（n-2）]
整理得，an-an-1=2（n≥2）…（3分）
所以，{an}为等差数列，且公差为2，an=1+2（n-1）=2n-1；
（2）bn=
| 1 |
| an•an+1 |
| 1 |
| (2n-1)(2n+1) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n+1 |
| n |
| 2n+1 |
若不等式λTn＜
| n+8 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| (2n+1)(n+8) |
| n |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| n |
∵n+
| 4 |
| n |
∴
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| n |
（3）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列
则（Tm）2=T1•Tn，即(
| m |
| 2m+1 |
| 1 |
| 3 |
| n |
| 2n+1 |
所以，
| m2 |
| 4m2+4m+1 |
| n |
| 6n+3 |
从而，
| 4m2+4m+1 |
| m2 |
| 6n+3 |
| n |
| 3 |
| n |
所以，2m2-4m-1＜0，即1-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
因为，m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时，n=12
故，当且仅当m=2，n=12时，使得T1，Tm，Tn成等比数列．
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