Question

（本小题满分14分）

一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中，，，．

（1）求证：；

（2）求二面角的平面角的大小．

 

Answer 1

（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．）

方法1：（1）证明：因为，，所以，即．

又因为，，所以平面．

因为，所以．………………………………………4分

（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．…………………………………………………………………7分

过点作于点，连接，

由（1）知，，，所以平面．

因为平面，所以．

所以为二面角的平面角．………………………………9分

由（1）知，平面，平面，

所以，即△为直角三角形．

在△中，，，则．

由，解得．

因为．………………………………………………………13分

所以．

所以二面角的平面角大小为．………………………………14分

方法2：（1）证明：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………2分

解得

所以，．……………………………………………3分

以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．

…………………5分

因为，

所以．

所以．…………………………………………………9分

（2）解：设是平面的法向量，因为，

所以即

取，则是平面的一个法向量．……………………11分

由（1）知，，又，，所以平面．

所以是平面的一个法向量．………………………………12分

因为，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小为．……………………………………14分

方法3：（1）证明：因为，，所以，即．

又因为，，所以平面．

因为，

所以．……………………………………………………………………4分

（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．……………………………………………………7分

以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．

……………9分

设是平面的法向量，

则即

取，则是平面的一个法向量．………11分

由（1）知，，又，，

所以平面．

所以是平面的一个法向量．……………………………12分

因为，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小为．……………………………………14分