Question

如图O是△ABC内的一点，

OA

+k•

OB

+t•

OC

=

O

．（k，t∈R，且t＞0）
（1）若O是△ABC的重心，求k，t的值；
（2）若|

OA|

=2，|

OC

|=1，∠AOB=120°，∠AOC=90°，

OA

•

OB

=-1，
求△BOC与△BAC的面积之比．

Answer 1

分析：（1）根据O是△ABC的重心，易延长AO到E，使OE=AO，交BC于D，易得

OA

+

OB

+

OC

=

0

，进而根据平面向量的基本定理，得到k，t的值；
（2）由已知分别求出∠BOC和|

OB|

，代入到三角形面积公式，求出△BOC与△BAC的面积，可得答案．

解答： 解：若O是△ABC的重心，则延长AO到E，使OE=AO，交BC于D
则D为BC的中点
则

OE

=

OB

+

OC

=-

OA

．
∴

OA

+

OB

+

OC

=

0

即k=1，t=1
（2）∵|

OA|

=2，|

OC

|=1，∠AOB=120°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=150°，
又∵

OA

•

OB

=-1，即|

OA|

•|

OB

|cos120°=-|

OB|

=-1
∴|

OB|

=1
∴S_△BOC=

1

2

|

OB|

•|

OC

|sin150°=

1

4

S_△BAC=S_△BOC+S_△AOC+S_△AOB=

1

4

+

1

2

|

OA|

•|

OC

|sin90°+

1

2

|

OA|

•|

OB

|sin120°=

5+2 3

4

故△BOC与△BAC的面积之比为1：5+2

3

点评：本题考查的知识点是微量的数量积，三角形面积公式，重心的性质，利用向量法，在求夹角和求距离时，速度快，精度高，是解答几何问题常用的方法．