Question

【题目】如图，三棱柱的侧面是边长为的菱形，，且．

（1）求证：；

（2）若，当二面角为直二面角时，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）利用直线与平面垂直的判定，结合三角形全等判定，得到，再次结合三角形全等，即可。（2）法一：建立坐标系，分别计算的法向量，结合两向量夹角为直角，计算出的值，然后结合，即可。法二：设出OA=x,用x分别表示AB,BD,AD，结合，建立方程，计算x，结合，即可。

（1）连结，交于点，连结，

因为侧面是菱形，所以，

又因为，，

所以平面，

而平面，所以，

因为，所以，

而，所以，.

（2）因为，，所以，（法一）以为坐标原点，所以直线为轴，

所以直线为轴，所以直线为轴建立

如图所示空间直角坐标系，设，

则，，，

，，

所以，，，

设平面的法向量，所以

令，则，，取，

设平面的法向量，所以

令，则，，取，

依题意得，解得.

所以.

（法二）过作，连结，

由（1）知，所以且，

所以是二面角的平面角，依题意得，，

所以，

设，则，，

又由，，

所以由，解得，

所以.