题目内容

已知函数f（x）=x²-alnx在（1，2）上是递增函数，g（x）=x- $数学公式$ 在（0，1）上为减函数．
（1）求f（x），g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）当b＞-1时，若f（x） $数学公式$ 在x∈（0，1）内恒成立，求b的取值范围．

解：（1）由题意知： $\text{[math]}$ 在（1，2]上恒成立?a≤（2x²）_min=2，
又 $\text{[math]}$ 在（0，1]上恒成立 $\text{[math]}$ ，
∴a=2，f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2 $\text{[math]}$ ．
（2）．f（x）=g（x）+2 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，
解得h（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增?h（x）_min=h（1）=0，
即方程f（x）=g（x）+2在x＞0时只有唯一解．
（3）f（x） $\text{[math]}$ 在（0，1]上恒成立， $\text{[math]}$ 在（0，1]上恒成立．
设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
∵0＜x≤1?x²-2＜0，2lnx＜0，
∴H′（x）＜0，H（x）d （0，1]单调递减，
∴-1＜b≤1，又∵b＞-1，∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1） $\text{[math]}$ 在（1，2]上恒成立?a≤（2x²）_min=2， $\text{[math]}$ 在（1，2]上恒成立 $\text{[math]}$ ，由此知f（x）=x²-2lnx，g（x）=x- $\text{[math]}$ ．
（2）f（x）=g（x）+2 $\text{[math]}$ ，由函数的单调性能导出方程f（x）=g（x）+2在x＞0时只有唯一解．
（3）f（x） $\text{[math]}$ 在（0，1]上恒成立 $\text{[math]}$ 在（0，1]上恒成立．由此能导出b的取值范围．
点评：本题考查利用导数判断函数的单调性，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．