Question

已知数列{a_n}，其前n项和为．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}是等差数列；
（Ⅲ）如果数列{b_n}满足a_n=log₂b_n，请证明数列{b_n}是等比数列，并求其前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根据a₁=S₁求得a₁，再根据a₁+a₂=S₂求得a₂．
（Ⅱ）根据a_n=S_n-S_n-1，代入即可求得a_n．进而根据求得a_n-a_n-1为常数说明数列{a_n}是以5为首项，3为公差的等差数列．
（Ⅲ）把a_n代入求得结果为常数，可推知数列{b_n}等比数列．根据求得首项，根据=8求得公比，进而根据等比数列的求和公式求得T_n．
解答：解：（Ⅰ）a₁=S₁=5，，
解得a₂=8．
（Ⅱ）当n≥2时，=．
又a₁=5满足a_n=3n+2，
∴a_n=3n+2?（n∈N^*）．
∵a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3（n≥2，n∈N^*），
∴数列{a_n}是以5为首项，3为公差的等差数列．
（Ⅲ）由已知得（n∈N^*），
∵（n∈N^*），
又，
∴数列{b_n}是以32为首项，8为公比的等比数列．
∴．
点评：本题主要考查了等比和等差数列的确定．关键是找到相邻两项的关系．