题目内容

已知向量
a
=(cosx，sinx)，
b
=(sinx，cosx)，且x∈[0，
π
2
]，
（1）求
a
•
b
的取值范围；
（2）求证|
a
+
b
|=2sin(x+
π
4
)；
（3）求函数f(x)=
a
•
b
-
2
|
a
+
b
|的取值范围．
分析：（1））利用向量的坐标运算公式可求得
a
•
b
=sin2x，又x∈[0，
π
2
]，从而可求
a
•
b
的取值范围；
（2）由
a
+
b
=（cos+sinx，sinx+cosx）由向量模的概念结合辅助角公式即可证得|
a
+
b
|=2sin（x+
π
4
）．
（3）将f(x)=
a
•
b
-
2
|
a
+
b
|化简为：f（x）═2sinxcosx-2（sinx+cosx），
解法1：令t=sinx+cosx，sinx•cosx=
t2-1
2
（1≤t≤
2
），y=t2-1-2t=（t-1）2-2取值范围可求．
解法2：f（x）=sin2x-2
2
sin（x+
π
4
）=2sin2(x+
π
4
)-2
2
sin(x+
π
4
)-1，求得sin（x+
π
4
）的范围即可．
解答：解：（1）∵
a
•
b
=sinx•cosx+sinx•cosx=2sinx•cosx=sin2x  （2′）
∵x∈[0，
π
2
]，
∴2x∈[0，π]
∴
a
•
b
∈[0，1]（4′）
（2）证明：∵
a
+
b
=（cos+sinx，sinx+cosx）
∴|
a
+
b
|=
2(cosx+sinx)2
（6'）
=
2[
2
sin(x+
π
4
)]2
=2|sin(x+
π
4
)|
∵x∈[0，
π
2
]，
∴x+
π
4
∈[
π
4
，
3π
4
]，
∴sin（x+
π
4
）＞0，
∴2|sin(x+
π
4
)|=2sin（x+
π
4
），
∴|
a
+
b
|=2sin（x+
π
4
）．（8'）
（3）∵x∈[0，
π
2
]，
∴x+
π
4
∈[
π
4
，
3π
4
]
∴f（x）=
a
•
b
-
2
|
a
+
b
|
=sin2x-2
2
sin(x+
π
4
)
=2sinxcosx-2（sinx+cosx）（9'）
解法1：令t=sinx+cosx
∴sinx•cosx=
t2-1
2
   (1≤t≤
2
）
∴y=t2-1-2t（10'）
=（t-1）2-2
∴y∈[-2，1-2
2
]（12'）
解法2：f（x）=sin2x-2
2
sin(x+
π
4
)（9'）
=-cos[2(x+
π
4
)]-2
2
sin(x+
π
4
)
=2sin2(x+
π
4
)-2
2
sin(x+
π
4
)-1（10'）
∵
2
2
≤sin(x+
π
4
)≤1
∴f（x）∈[-2，1-2
2
]（12'）
点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，着重考查了平面向量数量积的运算，三角函数的化简求值与二次函数在闭区间上的最值，综合性强，难度较大，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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