题目内容

已知△ABC，∠C=60°，AC=2，BC=1，点M是△ABC内部或边界上一动点，N是边BC的中点，则 $数学公式$ 的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：由题意，得△ABC是以B为直角的直角三角形，因此建立如图直角坐标系，设M（x，y），可得向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的坐标，从而得到 $\text{[math]}$ 关于x、y的表达式，结合点M在△ABC内部或边界上运动，可得当点M与原点重合时 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ．
解答：∵∠C=60°，AC=2，BC=1，

∴AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos60°=3，得AB= $\text{[math]}$
可得△ABC是以B为直角的直角三角形
因此，以C为原点，CB所在直线为x轴建立如图坐标系，
可得C（0，0），B（1，0），A（1， $\text{[math]}$ ）
∴BC中点N（ $\text{[math]}$ ，0），得 $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）
设M（x，y），得 $\text{[math]}$ =（x-1，y- $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x-1）+（- $\text{[math]}$ ）（y- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ y+ $\text{[math]}$
点M在△ABC内部或边界上运动，当点M与原点重合时，- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ y+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，取得最大值
即 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题给出直角三角形内的动点，求向量数量的最大值，着重考查了解三角形和平面向量的数量积公式等知识，属于中档题．