Question

13．已知数列 {a_n}满足 a₁=1，a_n-a_n+1=$\frac{{2{a_n}{a_{n+1}}}}{{n（{n+1}）}}（n∈{N^*}）$，则 a_n=$\frac{n}{3n-2}$．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，得到即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，然后利用累加法求得数列通项公式．

解答 解：由a_n-a_n+1=$\frac{{2{a_n}{a_{n+1}}}}{{n（{n+1}）}}（n∈{N^*}）$，得
$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}）+（\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n-2}}）+…+（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}）+\frac{1}{{a}_{1}}$（n≥2）
=$2（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}+…\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+1$
=$2（1-\frac{1}{n}）+1$=$\frac{3n-2}{n}$（n≥2）．
∴${a}_{n}=\frac{n}{3n-2}$（n≥2）．
当n=1时，上式成立．
∴${a}_{n}=\frac{n}{3n-2}$．
故答案为：${a}_{n}=\frac{n}{3n-2}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．