Question

已知二阶矩阵A=，矩阵A属于特征值λ₁=-1的一个特征向量为α₁=．
（1）求矩阵A的另一个特征值及其对应的一个特征向量；
（2）若向量m=，求A⁴m．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知：A₁=λ₁（₁为特征向量，λ为特征值），利用矩阵的乘法法则化简求出a与c的值，代入矩阵A即可得A，再根据矩阵A的特征多项式解出矩阵A的另一个特征值及其对应的一个特征向量；
（2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的所有特征值，然后根据特征向量线性表示出向量，利用矩阵的乘法法则求出=-10α₁+3α₂②，代入A⁴中求出值即可．
解答：解：（1）由题知：=-，即a-3=-1，c-1=1，解得a=2，b=2，
所以A=；
矩阵A的特征多项式为f（λ）==λ²-3λ-4=0，
得λ₁=-1，λ₂=4，
当λ₁=-1时，α₁=，
当λ₂=4时，将λ₂=4代入特征方程组，得⇒2x+3y=0．
可取α₂=为属于特征值λ₂=4的一个特征向量．（8分）
（2）由=pα₁+qα₂=p+q=，
得：解得 ，则=-10α₁+3α₂
∴A⁴=A⁴（-10α₁+3α₂）=-10（A⁴α₁）+3A⁴α₂
=-10（ α₁）+3α₂=-10×1×+3×256×=．
点评：本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值与特征向量，理解特征值、特征向量的定义是关键．