Question

已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．

Answer 1

解：（I）．
由于直线x+2y-3=0的斜率为-，且过点（1，1）
所以
解得a=1，b=1
（II）由（I）知f（x）=
所以
考虑函数，
则
所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，
当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；
当
从而当x＞0且x≠1时，

分析：（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．
（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．
点评：本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．