Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1
（1）求异面直线A₁B与 B₁C所成的角；
（2）求证：平面A₁BD∥平面B₁CD₁．

Answer 1

分析：（1）通过平移先作出异面直线所成的角，进而求出即可；
（2）利用线面、面面平行的判定定理即可证明．

解答：解：（1）连接A₁D、DB．由正方体可得A1B1

∥

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DC，∴对角面A₁B₁CD是一个平行四边形，∴B₁C∥A₁D．
∴∠BA₁D或其补角即为异面直线A₁B与 B₁C所成的角，
∵△A₁BD是一个等边三角形，
∴∠BA₁D=60°即为异面直线A₁B与 B₁C所成的角；
（2）证明：由（1）可知：A₁D∥B₁C，而A₁D?平面B₁CD₁，B₁C?平面B₁CD₁，
∴A₁D∥平面B₁CD₁，
同理可得A₁B∥平面B₁CD₁，
又∵A₁D∩A₁B=A₁，
∴平面A₁BD∥平面B₁CD₁．

点评：熟练掌握线面、面面平行的判定定理和性质定理、异面直线所成的角是解题的关键．