Question

【题目】已知圆M：x2+（y-2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点。

（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；

（2）求四边形QAMB面积的最小值；

（3）若|AB|=，求直线MQ的方程。

Answer 1

【答案】（1）和；（2）；（3）或

【解析】试题分析：（1）讨论直线的斜率是否存在，根据圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率；
（2）根据面积公式可知MQ最小时，面积最小，从而得出结论；
（3）根据切线的性质列方程取出MQ的值，从而得出Q点坐标，进而求出直线MQ的方程．

试题解析：

（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，

则圆心M到切线的距离为1，

所以，所以m=或0，

所以QA，QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1。

（2）因为MA⊥AQ，所以S四边形MAQB=|MA|·|QA|=|QA|=。

所以四边形QAMB面积的最小值为。

（3）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，

所以|MP|=。

在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP||MQ|，

即1=|MQ|，所以|MQ|=3，所以x2+（y-2）2=9。

设Q（x，0），则x2+22=9，所以x=±，所以Q（±，0），

所以MQ的方程为2x+y+2=0或2x-y-2=0。