题目内容
【题目】如图，焦点在
轴上的椭圆
与焦点在
轴上的椭圆
都过点
，中心都在坐标原点，且椭圆与的离心率均为
．
（Ⅰ）求椭圆与椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点M的互相垂直的两直线分别与，交于点A，B（点A、B不同于点M），当
的面积取最大值时，求两直线MA，MB斜率的比值.
【答案】（1）
，
（2）
【解析】分析：(1)根据题的条件，得到对应的椭圆的上顶点，即可以求得椭圆中相应的参数，结合椭圆的离心率的大小，求得相应的参数，从而求得椭圆的方程；
(2)设出一条直线的方程，与椭圆的方程联立，消元，利用求根公式求得对应点的坐标，进一步求得向量的坐标，将S表示为关于k的函数关系，从眼角函数的角度去求最值，从而求得结果.
详解：（Ⅰ）依题意得对
：
，
，得：；
同理
：.
（Ⅱ）设直线
的斜率分别为
，则MA：
，与椭圆方程联立得：
，得
，得
,
，所以
同理可得
.所以
,
从而可以求得
因为
，
所以
，不妨设
，所以当
最大时，
，此时两直线MA，MB斜率的比值
.
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