Question

函数f(x)=

x-x3

1+2x2+x4

的最大值与最小值的积为

-

1

16

．

Answer 1

分析：由题意可得f（x）为奇函数，对函数求导可得f′(x)=

(1-3x2)(1+2x2+x4)(x-x3)(4x+4x3)

(x2+1)4

=

x4-6x2+1

(x2+1)3

，结合奇函数的性质，只要先考虑x＞0时，结合导数可判断函数f（x）在（0，

2

-1]上单调递增，在（

2

-1，

2

+1）上单调递增，在[

2

+1，+∞）上单调递增，且

lim

x→+∞

x-x3

x4+2x2+1

=

lim

x→+∞

1 x3 - 1 x

1+ 2 x2 + 1 x4

=0，f(

2

-1)＞0，f(

2

+1)＜0可知f(x)max=f(

2

-1)，根据奇函数的对称性可得f（x）_min=-f（x）max，代入可求

解答：解：∵f(x)=

x-x3

1+2x2+x4

∴f（-x）=

x3-x

1+2x2+x4

=-f（x）
∴f（x）为奇函数
当x＞0时，f′(x)=

(1-3x2)(1+2x2+x4)(x-x3)(4x+4x3)

(x2+1)4

=

x4-6x2+1

(x2+1)3

令f′（x）＞0可得x⁴-6x²+1＞0，即0＜x＜

2

-1或x＞

2

+1
f′（x）＜0可得x⁴-6x²+1＜0，即

2

-1＜x＜

2

+1
∴f（x）在（0，

2

-1]上单调递增，在（

2

-1，

2

+1）上单调递增，在[

2

+1，+∞）上单调递增
又∵

lim

x→+∞

x-x3

x4+2x2+1

=

lim

x→+∞

1 x3 - 1 x

1+ 2 x2 + 1 x4

=0，f（0）=0
∵f(

2

-1)＞0，f(

2

+1)＜0
∴f(x)max=f(

2

-1)=

1

4

，f（x）_min=-f（x）max=-

1

4

则最大值与最小值的积为

( 2 -1)[1-( 2 -1)2]( 2 +1)[1-( 2 +1)2]

[1+( 2 -1)2]2[1+(1+ 2 )2]2

=-

1

16

故答案为：-

1

16

点评：本题主要考查了利用函数的导数求解函数的最值，其中奇函数的对称性的利用及函数最大值的位置判断是解答本题的关键