Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱长

2

，底面ABCD为菱形且AB=2，∠BAD=

π

3

，BD₁与侧面ADD₁A₁所成角为

π

4

．

Answer 1

分析：先取AD中点E，连BE，D₁E，可以得到BE⊥AD，且BE=

3

，BD=2；根据条件得到BE⊥侧面ADD₁A₁，进而得到∠BD₁E为所求，然后通过求边长求出∠BD₁E的三角函数值即可求出结论．

解答：解：取AD中点E，连BE，D₁E，因为ABCD为菱形，且AB=2，∠BAD=

π

3

∴BE⊥AD，且BE=

3

，BD=2，
又因为其为直棱柱；
所以BE⊥侧面ADD₁A₁，
∴D₁E为BD₁在侧面ADD₁A₁上的投影，
∴∠BD₁E为所求，
BD₁=

BD 2+DD 1 2

=

6

∴cos∠BD₁E=

BE

BD 1

=

3

6

=

2

2

，
∴∠BD₁E=

π

4

．
即BD₁与侧面ADD₁A₁所成角为：

π

4

．
故答案为；   

π

4

．

点评：本题主要考查直线和平面所成的角．解决本题的关键在于根据条件得到BE⊥侧面ADD₁A₁，进而得到∠BD₁E为所求．