Question

使f（x）=sin（2x+θ）-

3

cos（2x+θ）为奇函数，且在[0，

π

4

]上是减函数的θ的一个值是（　　）

• A．-

  π

  3

• B．-

  π

  6

• C．

  2π

  3

• D．

  5π

  6

Answer 1

分析：利用两角和正弦公式化简函数的解析式为 2sin（2x+θ-

π

3

），由于它是奇函数，故θ-

π

3

=kπ，k∈z，当k为奇数时，f（x）=-2sin2x，满足在[0，

π

4

]上是减函数，
此时，θ=2nπ-

2π

3

，n∈z，当k为偶数时，经检验不满足条件，从而得出结论．

解答：解：∵f（x）=sin（2x+θ）-

3

cos（2x+θ）=2sin（2x+θ-

π

3

）为奇函数，
∴f（0）=0，即sin（θ-

π

3

）=0．∴θ-

π

3

=kπ，k∈z，故 θ=kπ+

π

3

，k∈z．
当k为奇数时，令k=2n-1，θ=2nπ-

2π

3

，n∈z，此时f（x）=-2sin2x，满足在[0，

π

4

]上是减函数，
当k为偶数时，令k=2n，θ=2nπ+

π

3

，n∈z，此时f（x）=2sin2x，不满足在[0，

π

4

]上是减函数．
故选C．

点评：本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，奇偶性，体现了分类讨论的数学思想，化简函数的解析式是解题的突破口，属于中档题．