题目内容

已知数列{a_n}中，a₁=3，且满足 $数学公式$ ，
（Ⅰ）求证：数列 $数学公式$ 是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

（Ⅰ）证明：∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴数列 $\text{[math]}$ 是公差 $\text{[math]}$ 的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 $\text{[math]}$ 是等差数列，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，①
$\text{[math]}$ （2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ，②
①-②，得-2S_n=3+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）•3ⁿ
=3+2× $\text{[math]}$ -（2n+1）•3ⁿ
=3+3ⁿ-3-（2n+1）•3ⁿ
=-2n•3ⁿ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，由此能证明数列 $\text{[math]}$ 是等差数列．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ 是等差数列，知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，由此利用错位相减法能求出 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查等差数列的证明和数列前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和错位相减法的合理运用．