Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形．
（1）若PD=AD，E为PA的中点，求证：平面CDE⊥平面PAB；
（2）F是棱PC上的一点，CF=CP，问线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面DFM．若存在，指出点M在AC边上的位置，并加以证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由PD⊥底面ABCD，知PD⊥CD，由底面ABCD是矩形．知CD⊥AD，CD⊥平面PAD，由PA?平面PAD，知CD⊥PA，由此能够证明平面CDE⊥平面PAB．
（2）在线段AC上存在点M，使得PA∥平面DFM，此时点M为靠近C点的一个四等分点．利用题设条件和空间几何知识能够进行解答．
解答：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥CD
又∵底面ABCD是矩形．∴CD⊥AD∴CD⊥平面PAD
又PA?平面PAD∴CD⊥PA                  …（3分）
∵PD=AD，E为PA的中点∴DE⊥PA             …（4分）
CD∩DE=D∴PA⊥平面CDE，…（5分）
又PA?平面PAB
∴平面CDE⊥平面PAB．…（6分）
（2）解：在线段AC上存在点M，使得PA∥平面DFM，此时点M为靠近C点的一个四等分点，…（7分）
证明如下：
连接AC．BD．设AC∩BD=O，PC的中点为G，连OG，则PA∥OG，
在△PAC中，∵CF=CP∴F为CG的中点．           …（9分）
取OC的中点M，即CM=CA，则MF∥OG，∴MF∥PA    …（11分）
又PA?平面DFM，MF?平面DFM
∴PA∥平面DFM．…（12分）
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，探索线段上点的存在性．有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．