题目内容
数列{an}满足a1=1且an+1=(1+
)an+
(n≥1).(1)用数学归纳法证明an≥2(n≥2);
(2)已知不等式ln(1+x)＜x对x＞0成立,证明an＜e2(n≥1),其中无理数e=2.718 28….
剖析:本题第二问中an不能求出,直接比较an与e2的大小不行,且是与自然数有关的命题,故可考虑用数学归纳法.
证明:(1)①当n=2时,a2=2≥2,不等式成立.
②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即ak≥2(k≥2),那么ak+1=［1+］ak+≥2,
这就是说,当n=k+1时不等式成立.
根据①②可知an≥2对所有n≥2成立.
(2)由递推公式及(1)的结论有
an+1=(1+
)an+
≤(1+
+
)an(n≥1).两边取对数并利用已知不等式得
lnan+1≤ln(1+
+
)+lnan≤lnan+
+
.
故lnan+1-lnan≤
+
(n≥1).
上式从1到n-1求和可得
lnan-lna1≤
+
+…+
+
+
+…+
=1-
+(
-
)+…+
-
+
·
=1-
+1-
＜2,
即lnan＜2,故an＜e2(n≥1).
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